「基数」を単純に説明すると、桁上がりが発生する数と考えて良いと思います。
１０進数の基数は１０です。
９までは桁上がりしませんが、９に１を加算すると桁上がりして１０になります。
同じように、２進数の基数は２です。
「基数変換」とは、１０進数を２進数に変換したり、２進数を８進数に変換することです。
私たちは普段１０進数を使っていますが、コンピュータ内部では２進数が使用されています。
ただ、２進数は非常に見づらいので、１６進数を使った表現もよく使用されています。
今回は、１０進数、２進数、１６進数を中心に基数変換を勉強したいと思います。
「進数の話」で書いたように、基本的な考え方が分かれば特に問題なく変換できます。
すでに、「進数の話」で、２進数や１６進数を１０進数に変換する方法は書きましたので、ここでは逆をやってみましょう。
まずは、１０進数と２進数の基数変換を行ってみます。
１０進数「２４５」を２進数に変換します。
１０進数の考え方は「進数の話」で書きましたが、
１ （１０の０乗）の位 が ５つ で ５ １０ （１０の１乗）の位 が ４つ で ４０ １００（１０の２乗）の位 が ２つ で ２００
これらの合計が「２４５」となります。
１０の○乗と括弧書きをしましたが、この１０が基数です。
２進数は基数が２ですから、
１ （２の０乗）の位 ２ （２の１乗）の位 ４ （２の２乗）の位 ８ （２の３乗）の位 １６ （２の４乗）の位 ３２ （２の５乗）の位 ６４ （２の６乗）の位 １２８ （２の７乗）の位 ２５６ （２の８乗）の位 ・ ・ ・
と続いていきます。
１０進数「２４５」を２進数に変換するために、２進数のどの「位」が何個必要かを考えます。
２進数で使える数字は「０」と「１」だけですから、何個必要かを考える場合、「０個」か「１個」かを考えれば良いです。
では、手順を追って少しずつ説明します。
まず、変換する１０進数は「２４５」ですから、２進数「２５６の位」は必要ありませんね。
１ （２の０乗）の位 ２ （２の１乗）の位 ４ （２の２乗）の位 ８ （２の３乗）の位 １６ （２の４乗）の位 ３２ （２の５乗）の位 ６４ （２の６乗）の位 １２８ （２の７乗）の位 ２５６ （２の８乗）の位 が ０こ で ０
２進数「１２８の位」は１つ使えそうです。
１ （２の０乗）の位 ２ （２の１乗）の位 ４ （２の２乗）の位 ８ （２の３乗）の位 １６ （２の４乗）の位 ３２ （２の５乗）の位 ６４ （２の６乗）の位 １２８ （２の７乗）の位 が １つ で １２８ ２５６ （２の８乗）の位 が ０こ で ０
２進数「１２８の位」を使いましたから、残った１０進数は「１１７」です。
残り「１１７」ですから、２進数「６４の位」も必要ですね。
１ （２の０乗）の位 ２ （２の１乗）の位 ４ （２の２乗）の位 ８ （２の３乗）の位 １６ （２の４乗）の位 ３２ （２の５乗）の位 ６４ （２の６乗）の位 が １つ で ６４ １２８ （２の７乗）の位 が １つ で １２８ ２５６ （２の８乗）の位 が ０こ で ０
２進数「１２８の位」と「６４の位」を使いましたから、残った１０進数は「５３」です。
残り「５３」ですから、２進数「３２の位」も必要です。
１ （２の０乗）の位 ２ （２の１乗）の位 ４ （２の２乗）の位 ８ （２の３乗）の位 １６ （２の４乗）の位 ３２ （２の５乗）の位 が １つ で ３２ ６４ （２の６乗）の位 が １つ で ６４ １２８ （２の７乗）の位 が １つ で １２８ ２５６ （２の８乗）の位 が ０こ で ０
これで、残った１０進数は「２１」になりました。
同じように必要な「位」に１を、必要でない「位」に０を入れていくと、最終的に次のようになります。
１ （２の０乗）の位 が １つ で １ ２ （２の１乗）の位 が ０こ で ０ ４ （２の２乗）の位 が １つ で ４ ８ （２の３乗）の位 が ０こ で ０ １６ （２の４乗）の位 が １つ で １６ ３２ （２の５乗）の位 が １つ で ３２ ６４ （２の６乗）の位 が １つ で ６４ １２８ （２の７乗）の位 が １つ で １２８ ２５６ （２の８乗）の位 が ０こ で ０
右側の１０進数を全て加算すると、「２４５」となります。
１０進数「２４５」は、２進数に変換すると「０１１１１０１０１」となりました。
１０進数でも指定が無い限り数字の先頭のゼロは書かないように、２進数でも桁数の指定が無ければ数字の先頭のゼロは書く必要はありません。
ですから、「１１１１ ０１０１」となります。
次に１０進数から１６進数への変換を考えてみます。
同じように１０進数「２４５」を１６進数に変換します。
１６進数は基数が１６ですから、
１ （１６の０乗）の位 １６ （１６の１乗）の位 ２５６ （１６の２乗）の位 ４０９６ （１６の３乗）の位 ・ ・ ・
と続いていきます。
変換する１０進数は「２４５」ですから、「２５６の位」や「４０９６の位」は必要ありません。
１ （１６の０乗）の位 １６ （１６の１乗）の位> ２５６ （１６の２乗）の位 が ０こ で ０ ４０９６ （１６の３乗）の位 が ０こ で ０
となります。
次の「１６の位」は必要ですが、何個必要でしょうか？
１６進数で使える数字は「０〜９」と「Ａ〜Ｆ」までです。（「進数の話」参照）
１６×１５＝２４０
ですから、「１５個」必要です。
１ （１６の０乗）の位 １６ （１６の１乗）の位 が １５こ で ２４０ ２５６ （１６の２乗）の位 が ０こ で ０ ４０９６ （１６の３乗）の位 が ０こ で ０
１０進数の残りは「５」になりますから、「１の位」は５個必要となります。
１ （１６の０乗）の位 が ５こ で ５ １６ （１６の１乗）の位 が １５こ で ２４０ ２５６ （１６の２乗）の位 が ０こ で ０ ４０９６ （１６の３乗）の位 が ０こ で ０
右側の１０進数を全て加算すると、「２４５」となります。
ここで、「１６の位」は「１５個」必要でしたが、１６進数で「１５」を表す記号は「Ｆ」です。
ですから、１０進数「２４５」は、１６進数に変換すると「Ｆ５」となります。
ここまで理解すれば、１０進数を２進数、１６進数に変換したり、２進数や１６進数を１０進数に変換することが出来るようになります。
２進数を１６進数にしたり、１６進数を２進数にするには、一旦１０進数に変換することで可能です。
もう少し簡単に基数変換を行う方法を紹介します。
１０進数を２進数に変換する方法の１つに「２で割った余りを求める」という方法があります。
前の例と同じように、１０進数「２４５」を２進数に変換してみましょう。
２４５ ÷ ２ ＝ １２２ 余り １ １２２ ÷ ２ ＝ ６１ 余り ０ ６１ ÷ ２ ＝ ３０ 余り １ ３０ ÷ ２ ＝ １５ 余り ０ １５ ÷ ２ ＝ ７ 余り １ ７ ÷ ２ ＝ ３ 余り １ ３ ÷ ２ ＝ １ 余り １ １ ÷ ２ ＝ ０ 余り １
右側に出てきた「余り」を下から見てみると「１１１１ ０１０１」となります。
この方法は何進数にでも適用できます。
１６進数に変換してみましょう。
２４５ ÷ １６ ＝ １５ 余り ５ １５ ÷ １６ ＝ ０ 余り １５ → 「Ｆ」
「余り」を下から見ると「Ｆ５」になります。
２進数と１６進数の変換も１０進数を媒介せずに行う方法があります。
１０進数「２４５」は、１６進数で「Ｆ５」、２進数で「１１１１ ０１０１」です。
１６進数「Ｆ５」の各桁の数字を個別に見てみると、
Ｆ → １５ ５ → ５
となります。
それぞれの桁を個別に２進数「４桁」に変換すると、
Ｆ → １５ → １１１１ ５ → ５ → ０１０１
「１１１１ ０１０１」になりました。
※以前、２進数を４桁ずつ区切るのは「見やすく」するため、と書きましたが、「１６進数に直しやすい」という利点もあります。
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