人間がマイナスの数を表現する場合−（マイナス記号）を書くだけで、負の値と判断できます。
たとえば、マイナス５と表現したい場合、５にマイナス記号を付けて、
−５
と書きます。
しかし、コンピュータ内部では全ての情報を２進数で扱っているため、マイナス記号のような便利なものは使えません。
そこで、マイナスの値を扱うために様々な方法を考えました。
ここでは、代表的な「補数」について書きます。
具体的な説明が欲しい！という方は、このまま読み進めてください。
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まず、普段皆さんが使っている１０進数で説明しましょう。
１０進数に対する補数は、９の補数との１０補数があります。
１０進数に対する９の補数とは、「加算すると各桁の数値が９になる数」です。
例えば、１０２４（１０進数）という数値の９の補数は、「８９７５」です。
１０２４ ＋ ８９７５ ＝ ９９９９
４桁同士の加算を行うと「９９９９」になります。
また、１０進数に対する１０の補数は「９の補数に１を加算したもの」になります。
例えば、１０進数「１０２４」の１０の補数は「８９７６」です。
１０２４ ＋ ８９７６ ＝ １００００
４桁同士の加算を行うと、１つ桁上がりして「１００００」になります。
これが何の役に立つんだろうか？と思いますが、ここからが重要な所です。
これから１０進数の減算を行ってみます。
４５６７ − １０２４
という計算です。
４５６７ −１０２４ −−−−− ３５４３
答えは、「３５４３」ですね。
では、１０２４の１０の補数である「８９７６」を使って計算してみます。
ただし、減算ではなく、加算をします。
４５６７ ＋８９７６ −−−−− １３５４３
答えは、「１３５４３」です。
この答えの一番左の桁を無視すれば「３５４３」となり、減算した結果と同じになります。
一番左の桁を無視することで、「減算が加算で行える」ようになります。
これが重要なのです。
減算が加算で行えるのであれば、減算をする必要がなくなります。
コンピュータでは、計算を行うための装置が内臓されていますが、加算を行う装置さえあれば、減算を行うための装置を設置しなくても良いというメリットになります。
では、２進数で考えてみます。
とりあえず、２進数での加算を説明しましょう。
わかりやすくするために、２ｂｉｔ（２進数２桁）程度で説明します。
２進数の加算の方法は分かっている！という方は「こちら」をクリックしてください。
００ ＋００ −−− ００
０＋０は当然０です。
０１ ＋００ −−− ０１
１＋０は１です。
０１ ＋０１ −−− １０
１＋１は、２ですから桁上がりしていますね。
０１ ＋１０ −−− １１
１＋２は、３です。
０１ ＋１１ −−− １００
１＋３は、４ですから３桁になります。
これは、順を追って説明してみましょう。
まず、右端の桁の１＋１を行います。
結果は２ですから、桁上がりが発生し下図のようになります。
１ ←桁上がり ０１ ＋１１ −−− ０
次の桁の計算１＋１を行うと２になりますから、また桁上がりが発生し、下図のようになります。
１１ ０１ ＋１１ −−− ００
最後に、桁上がりした１を下に降ろして完成です。
１１ ０１ ＋１１ −−− １００
１０進数は１０で桁上がりしますが、２進数は２で桁上がりします。
もう１つ、
１１ ＋１１ −−− １１０
３＋３は６です。
これも順を追って説明します。
右端の桁の計算を行うと１＋１で２となり、桁上がりが発生します。
１ １１ ＋１１ −−− ０
次の桁は１＋１＋１となり、３ですから、桁上がりして１残ります。
１１ １１ ＋１１ −−− １０
最後に、桁上がりした１を下に降ろして完成です。
１１ １１ ＋１１ −−− １１０
２進数に対する補数は、１の補数と２の補数があります。
２進数に対する１の補数とは、「加算すると各桁の数値が１になる数」です。
４ｂｉｔ（２進数４桁）で説明します。
２進数「１００１」に対する、１の補数は「０１１０」となります。
１００１ ＋０１１０ −−−−− １１１１
このようになります。
２進数に対する２の補数は、「１の補数に１を加算したもの」になります。
ですから、２進数「１００１」の２の補数は「０１１１」になります。
１００１ ＋０１１１ −−−−− １００００
先ほど２進数の加算で説明したように、右端の桁から桁上がりが発生し、１桁増えています。
１０進数に対する１０の補数と同じでしょう？
ということは、２の補数を使えば、加算で減算が出来るかもしれません。
２進数「１１０１−１００１」という計算をしてみましょう。
１１０１ −１００１ −−−−− ０１００
こうなります。
では、２の補数を使って加算で減算を行ってみます。
２進数「１００１」の２の補数は、「０１１１」ですから、
１１０１ ＋０１１１ −−−−− １０１００
となり、一番左の桁を無視すれば「０１００」で、減算と同じ結果となります。
１０進数に対する１０の補数と同じですね。
さて、最後に残った問題は「一番左の桁を無視すれば」という箇所です。
「無視できれば」減算を加算で行うことが出来ますが、どうやって無視するかが問題です。
これまで勉強したことをすべてリンクさせるため、８ｂｉｔ（２進数８桁）でやってみます。
２つの２進数を使って減算してみます。
００１１ ００１１ → １０進数「５１」 ００１０ ０００１ → １０進数「３３」
１０進数で考えると、５１−３３＝１８ですね。
２進数で考えてみます。
００１１００１１ −００１００００１ −−−−−−−−− ０００１００１０ → １０進数「１８」
合っています。
では、補数を使ってみます。
２進数「００１０ ０００１」の２の補数は、「１１０１ １１１１」です。
００１１００１１ ＋１１０１１１１１ −−−−−−−−− １０００１００１０
「１ ０００１ ００１０」となりました。
前に説明したＣ言語のchar型では、「サイズに収まりきらない部分が切り捨てられる」と書きました。
２の補数を使って加算を行うと、８ｂｉｔ同士の加算の結果が９ｂｉｔとなりました。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ １｜０｜０｜０｜１｜０｜０｜１｜０｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ 128 64 32 16 8 4 2 1
char型を使って計算すると、一番左のビットは「切り捨て」られます。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜０｜０｜０｜１｜０｜０｜１｜０｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ 128 64 32 16 8 4 2 1
結果１０進数「１８」になりました。
つまり、「無視できれば」と書いてきた部分は、コンピュータを使えば、自動的に「切り捨て」られるのです。
長いこと説明してきましたが、加算することで減算できる「補数」をマイナスの値と考えることがコンピュータ内部で行われているのです。
上で説明した、
２進数「００１０ ０００１」の２の補数は、「１１０１ １１１１」です。
という箇所がありますが、
この「１１０１ １１１１」を、１０進数「−３３」と考えるのです。
そうすると、
００１１００１１ → １０進数「５１」 ＋１１０１１１１１ → １０進数「−３３」 −−−−−−−−− １０００１００１０
となり、一番左のビット「１」を切り捨てると、この計算は、
５１ ＋ （−３３） ＝ １８
となるのです。
続きは下の「簡単な説明」を見てください。
マイナスの値を扱うため、いろいろな方法が考えられましたが、「２の補数」と呼ばれる方法を説明します。
※２進数８ｂｉｔで説明します。
これまで紹介した２進数はすべて符号なし（unsigned）でしたから、各桁の位を表示すると下図のようになります。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ 128 64 32 16 8 4 2 1
符号あり（signed）の場合、マイナスを使用することになりますので、次のように考えます。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ -128 64 32 16 8 4 2 1
一番左の桁（最上位ビット）の位を−１２８と設定します。
このビットが１の場合、−１２８が１個と数える訳です。
※この最上位ビットを「符号ビット」と言い、「１」であればマイナス、「０」であればプラスと考えます。
例えば、２進数「１００１ ０００１」は、
１の位 が １個 ＝ １ ２の位 が ０個 ＝ ０ ４の位 が ０個 ＝ ０ ８の位 が ０個 ＝ ０ １６の位 が １個 ＝ １６ ３２の位 が ０個 ＝ ０ ６４の位 が ０個 ＝ ０ −１２８の位 が １個 ＝ −１２８
合計すると、「−１１１（１０進数）」となります。
いくつか数を書いてみます。
２進数 １０進数 ００００００００ → ０ ０００００００１ → １ ００００００１０ → ２ ・ ・ ・ ０１１１１１１０ → １２６ ０１１１１１１１ → １２７ １０００００００ → −１２８ １００００００１ → −１２７ １０００００１０ → −１２６ ・ ・ ・ １１１１１１１０ → −２ １１１１１１１１ → −１
一番左端の桁をマイナスとすることにより、正の値は「１２７」までしか表現出来なくなりましたが、負の値は「−１〜−１２８」まで表現できるようになりました。
他にもマイナスを表現する方法はあるのですが、現在のコンピュータの多くがこの方法を採用しています。
なぜでしょうか？
実は、２の補数を使うことによるメリットがあるのです。
そのメリットとは、「減算を加算で行える」というメリットです。
もし、マイナスの表現方法が無ければ、減算をしなければ数を引くことが出来ません。
５ − ３ ＝ ２
という具合です。
しかし、マイナスの表現が出来れば、減算の必要はなくなります。
５ ＋ （−３） ＝ ２
という具合です。
コンピュータでは、計算を行うための装置が内臓されていますが、加算を行う装置さえあれば、減算を行うための装置を設置しなくても良いというメリットになります。
実際にやってみましょう。
簡単な例で、「１５−１（１０進数）」をやってみましょう。
１０進数「１５」は２進数８ｂｉｔで「００００ １１１１」です。
１０進数「 １」は２進数８ｂｉｔで「００００ ０００１」です。
２進数で減算してみます。
００００１１１１ −０００００００１ −−−−−−−−− ００００１１１０ → １０進数「１４」
こうなりますね。
では、「１５＋（−１）」を２の補数を加算するという方法で計算します。
１０進数「−１」は２の補数で「１１１１１１１１」です。※上記参照
００００１１１１ ＋１１１１１１１１ −−−−−−−−− １００００１１１０
２の補数を使って加算を行うと、８ｂｉｔ同士の加算の結果が９ｂｉｔとなりました。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ １｜０｜０｜０｜０｜１｜１｜１｜０｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ -128 64 32 16 8 4 2 1
前に説明したＣ言語のchar型では、「サイズに収まりきらない部分が切り捨てられる」と書きました。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜０｜０｜０｜０｜１｜１｜１｜０｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ -128 64 32 16 8 4 2 1
char型を使って計算すると、一番左のビットは「切り捨て」られますので、ちゃんと「１４」という結果になっています。
だいぶ遠回りしましたが<sample program col013-01>に戻ります。
char型変数に２００を代入したら−５６と表示されたというものでしたが、このchar型の表現可能な数の範囲は−１２８〜１２７までです。
２００は表現できないのですが、なぜ−５６と表示されるのか説明します。
char型（符号あり）の場合、内部では２の補数を使ってマイナスの表現を行っています。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ -128 64 32 16 8 4 2 1
これですね。
ここに２００を代入しますが、１０進数で考えると代入できるとは思えません。
そこで、１０進数「２００」を２進数にしてみます。
１の位 が ０個 ＝ ０ ２の位 が ０個 ＝ ０ ４の位 が ０個 ＝ ０ ８の位 が １個 ＝ ８ １６の位 が ０個 ＝ ０ ３２の位 が ０個 ＝ ０ ６４の位 が １個 ＝ ６４ １２８の位 が １個 ＝ １２８
合計すると、「２００」ですから２進数であらわすと「１１００１０００」となります。
これを上記の２の補数８ｂｉｔの枠に収めてみます。
＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ ｜１｜１｜０｜０｜１｜０｜０｜０｜ ＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋ -128 64 32 16 8 4 2 1
１の位 が ０個 ＝ ０ ２の位 が ０個 ＝ ０ ４の位 が ０個 ＝ ０ ８の位 が １個 ＝ ８ １６の位 が ０個 ＝ ０ ３２の位 が ０個 ＝ ０ ６４の位 が １個 ＝ ６４ −１２８の位 が １個 ＝−１２８ −１２８ ＋ ６４ ＋ ８ ＝ −５６
合計すると−５６になりました。
結局、コンピュータの中では２進数が使われており、符号ありにするか符合なしにするかは人間が決めることなのです。
例えば、次のプログラムを見てください。
<sample program col016-01>
#include <stdio.h>
int main(void)
{
char data1 = 200;
unsigned char data2 = 200;
printf("data1 = %d\n", data1);
printf("data2 = %d\n", data2);
} |
<実行結果>
data1 = -56 data2 = 200 続行するには何かキーを押してください・・・
変数data1はchar型（signed：符号あり）で宣言されています。
変数data2はunsigned char型（符号なし）で宣言されています。
同じように200を代入し、表示してみると異なった数値が表示されます。
要は、コンピュータ内部では「１１００１０００」というビットの列しか存在せず、プログラマが符号あり、なしを変数の宣言時に決めるのです。
このことを頭においていれば、訳の分からない数値が出てきた！と思うことは少なくなります。
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